PERT CPM ile proje planlama ve kontrol

Kritik yol yönteminin iki kaynağı vardır: Uzay projelerini oluşturan çeşitli faaliyetlerin icra sürelerini kontrol etmek için 1957'de Birleşik Devletler Donanması tarafından geliştirilen PERT yöntemi (Program Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği), her birini uygun zaman aralıkları içinde bitirme ihtiyacı nedeniyle. Başlangıçta Polaris proje zaman kontrolü tarafından kullanıldı ve şu anda uzay programı boyunca kullanılıyor. Mevcut yöntemin ikinci kaynağı olan CPM yöntemi (Kritik Yol Yöntemi) de 1957'de Amerika Birleşik Devletleri'nde Dupont ve Remington Rand firması için bir yöneylem araştırma merkezi tarafından geliştirilmiştir.projenin bileşen faaliyetlerinin yeterli şekilde planlanması yoluyla işletme maliyetlerinin kontrolünü ve optimizasyonunu aramak.

planlama ve kontrol-of-the projelerine-ile-pert-1

Her iki yöntem

de, toplam projenin en kısa sürede ve mümkün olan en düşük maliyetle yürütülmesini sağlamak için yürütme sürelerinin ve işletme maliyetlerinin kontrolünü kullanarak mevcut kritik yol yöntemini oluşturmak için gerekli idari unsurları sağlamıştır.

Uygulamalar

Bu yöntemin etki alanı, büyük esnekliği ve büyük veya küçük herhangi bir projeye uyarlanabilirliği göz önüne alındığında çok geniştir. En iyi sonuçları elde etmek için aşağıdaki özelliklere sahip projelere uygulanmalıdır:

Projenin bazı kısımlarında veya bütününde benzersiz, tekrar etmeyen, projenin tamamının veya bir kısmının minimum sürede, varyasyonsuz, yani kritik zamanda yürütülmesi gerektiği. mevcut bir süre içinde mümkün olan en düşük işlem.

Uygulama kapsamında yöntem; baraj yapımı, yolların açılması, asfaltlama, konut ve bina inşaatı, gemi onarımı, pazar araştırması, yerleşim hareketleri gibi çeşitli faaliyetlerin planlanması ve kontrolünde kullanılmıştır. bölgesel ekonomik çalışmalar, denetimler, üniversite kariyer planlaması, ameliyathane zamanlarının dağılımı, fabrika genişletmeleri, koleksiyonlar için güzergahların planlanması, satış planları, nüfus sayımları vb.

PERT-CPM ile proje planlama ve kontrol

Büyük ölçekli projelerin iyi yönetimi, birbiriyle ilişkili birçok faaliyetin dikkatli bir şekilde planlanmasını, programlanmasını ve koordinasyonunu gerektirir. 1950'lerin başlarında, bu görevlere yardımcı olmak için ağların kullanımına ve ağ oluşturma tekniklerine dayanan resmi prosedürler geliştirildi. En önemli prosedürler arasında PERT (program değerlendirme ve gözden geçirme tekniği) ve CPM (kritik yol yöntemi) bulunmaktadır. PERT tipi sistemler başlangıçta bir araştırma ve geliştirme projesinin zamanlamasını değerlendirmek için uygulanmış olsa da, diğer özel proje türlerinin ilerlemesini izlemek için de kullanılırlar. Örnekler arasında inşaat programları, bilgisayar programlama, teklif ve bütçe hazırlama,Bakımın planlanmasında ve bilgisayar sistemlerinin kurulmasında, bu tür teknikler film yapımına, politik kampanyalara ve karmaşık cerrahi operasyonlara bile uygulanmıştır.

PERT benzeri sistemlerin amacı, planlama ve kontrole yardımcı olmaktır, bu nedenle çok fazla doğrudan optimizasyon içermez. Bazen birincil amaç, belirli teslimat tarihlerini karşılama olasılığını belirlemektir. Ayrıca, darboğazlara dönüşme olasılığı daha yüksek olan faaliyetleri belirler ve bu nedenle gecikmelerden kaçınmak için en büyük çabanın nereye yapılması gerektiğini belirtir. Üçüncü bir amaç, program değişikliklerinin etkisini değerlendirmektir. Örneğin, kaynak tahsisindeki olası bir değişikliğin etkisi, daha az kritik faaliyetlerden darboğazlara sahip olduğu belirlenen faaliyetlere kadar değerlendirilebilir. Bir diğer önemli uygulama ise programdan sapmanın etkisinin değerlendirilmesidir.

Tüm PERT tipi sistemler, öğeleri arasındaki karşılıklı ilişkiyi grafiksel olarak görselleştirmek için bir proje ağı kullanır. Bir proje planının bu temsili, faaliyetlerin gerçekleştirilmesi gereken sırayla ilgili olarak tüm menşe ilişkilerini gösterir. Şekil 1'de bu özellikler, bir evin inşası için ilk proje ağı için gösterilmiştir. Bu ağ, temel atılmadan önce hafriyatın yapılması ve ardından duvarlar döşenmeden önce temelin tamamlanması gerektiğini belirtir. Duvarlar yükseltildikten sonra, paralel olarak üç faaliyet gerçekleştirilebilir. Ağı ileriye doğru takip ettiğinizde, sonraki görevlerin sırasını görürsünüz.

PERT terminolojisinde, ağın her bir yayı bir aktiviteyi, yani projenin gerektirdiği görevlerden birini temsil eder, her bir düğüm genellikle sona ulaşan tüm aktivitelerin tamamlandığı anda tanımlanan bir olayı temsil eder. Ok uçları, bu olayların her birinin meydana gelmesi gereken sırayı gösterir. Dahası, bir olay o düğüme ulaşan faaliyetlerin başlamasından önce gelmelidir. Ok uçları, bu olayların her birinin gerçekleşmesi gereken sırayı gösterir. Dahası, bir olay o düğümden çıkan faaliyetlerin başlamasından önce gelmelidir. (Gerçekte, bir projenin birbirini izleyen aşamaları sıklıkla örtüşebilir, bu nedenle ağ, bir proje planının idealleştirilmiş bir yaklaşımını temsil edebilir.)

Tüm faaliyetlerin yönlendirildiği düğüm, kavramından itibaren tamamlanmaya karşılık gelen olaydır veya proje zaten başladıysa, tamamlanma planıdır. İkinci durumda, gelen yaylar olmadan ağın her bir düğümü, devam etmekte olan bir faaliyetin sürdürülmesi olayını veya herhangi bir zamanda başlayabilen yeni bir aktivitenin başlatılması olayını temsil eder.

Her bir kemer, bir faaliyeti temsil etme ve farklı faaliyetler arasındaki menşe ilişkilerini temsil etmeye yardımcı olma gibi ikili bir rol oynar. Bazen temsil edilecek gerçek bir faaliyet olmadığında bile provenans ilişkilerini tanımlamak için bir yay gerekir. Bu durumda, sıfır zaman gerektiren hayali bir faaliyet ortaya çıkar, burada bu hayali etkinliği temsil eden ark, provenans ilişkisini gösteren noktalı bir ok olarak gösterilir. Örneğin, Şekil 1'deki hayali bir etkinliği temsil eden yay 5 ® 8'i düşünün; Bu arkın tek amacı, dış cepheler başlatılmadan önce boru yerleşiminin tamamlanması gerektiğini belirtmektir.

Bu tür bir ağ kurmanın ortak bir kuralı, iki düğümün birden fazla yay ile doğrudan bağlanamamasıdır. İki veya daha fazla eşzamanlı etkinliğiniz olduğunda bu kuralı ihlal etmekten kaçınmak için kukla etkinlikler de kullanılabilir; Bu, Şekil 1'de kemer 11® 12 ile gösterilmiştir. Bu kemerin tek amacı, 9 düğümünden 12 düğümüne kadar iki kemer olmadan iç döşeme kurulumundan önce döşeme kurulumunun tamamlanması gerektiğini belirtmektir.

Bir projenin ağı geliştirildikten sonra, sonraki adım her faaliyet için gereken süreyi tahmin etmektir. Şekil 1'deki bir evin inşaatı örneği için bu tahminler, şekil 2'de yayların yanında görünen en karanlık sayılarla (iş günü birimi cinsinden) gösterilmektedir. Bu zamanlar, her olay için iki temel miktarı, yani en yakın zamanı ve en uzak zamanını hesaplamak için kullanılır.

Bir olay için en yakın zaman, onu takip eden faaliyetlerin mümkün olan en kısa sürede başlaması durumunda olayın gerçekleşeceği (tahmini) zamandır.

En yakın zamanlar, ilk olaylardan başlayarak ve son olaylara kadar zaman içinde ileriye doğru ilerleyerek ağ üzerinden ileri geçiş yapılarak elde edilir, her olay için her birinin gerçekleşeceği zamanın bir hesabı yapılır. bir, her ani ilerleyen olay en yakın zamanda meydana gelirse ve müdahale eden her faaliyet tam olarak tahmini süresini tüketirse. Projenin başlangıcı zaman 0 ile etiketlenmelidir. Bu süreç şekil 1 ve 2'de ele alınan örnek için tablo 1'de gösterilmektedir. Elde edilen en yakın zamanlar şekil 2'de, her düğüm için verilen iki sayı.

Bir olay için en erken zaman, projenin tamamlanmasını en yakın zamanın ötesinde geciktirmeden gerçekleşebileceği son (tahmini) zamandır.

Tablo 1. Bir ev inşaatı örneği için en yakın zamanların hesaplanması.

Etkinlik	Acil olay Önceki	Zaman zaman fazlası + sonraki aktivite	Hava = maksimum artı Sonraki
bir	___	___	0
iki	bir	0 + 2	iki
3	iki	2 + 4	6
4	3	6 + 10	16
5	4	16 + 4	yirmi
6	4	16 + 6	22
7	4	16 + 7	25
	5	20 + 5
8	5	20 + 0	29
	6	22 + 7
9	7	25 + 8	33
10	8	29 + 9	38
on bir	9	33 + 4	37
12	9	33 + 5	38
	on bir	37 + 0
13	10	38 + 2	44

Bu durumda, son olaylardan başlayıp ilk olaylara kadar zamanda geriye doğru çalışarak, ağ üzerinden bir geçiş yapılarak olaylar için en uzak zamanlar arka arkaya elde edilir. Her olay için, bir olayın meydana gelebileceği son zamanı hesapladı, böylece ilgili her etkinlik tam olarak tahmin edilen zamanını tüketirse, takip edenlerin en uzak zamanda meydana gelmesini sağladı. Bu süreç, 44 günün en yakın zaman ve ev inşaatı projesinin tamamlanması için en uzak zaman olduğu Tablo 2'de gösterilmektedir. Ev inşaatı projesinin tamamlanması için en erken zamanlar. Elde edilen en uzak zamanlar da şekil 2'de her bir düğüm için verilen ikinci sayı olarak bulunur.

Aktivite (i, j), proje ağında i olayından j olayına giden aktivite olsun.

Bir olayın gevşekliği, en erken zamanı ile en yakın zamanı arasındaki farktır.

Bir aktivite için bolluk (i, j) ve arasındaki farktır.

Bu nedenle, her şeyin zamanında çalıştığı varsayılırsa, bir olay için gevşeklik, projenin tamamlanmasını geciktirmeden o olaya ulaşmada ne kadar gecikmenin tolere edilebileceğini gösterir ve bir faaliyet için gevşeklik, bir gecikme için aynı şeyi gösterir. bu faaliyetin sona ermesi. Tablo 3, bir evin inşaatı projesi için bu boşlukların hesaplamalarını göstermektedir.

Bir projenin kritik yolu, faaliyetleri sıfır boşluğa sahip bir yoldur. (Sıfır bolluğa sahip tüm faaliyetler ve olaylar kritik bir yolda olmalıdır, ancak diğerleri olmamalıdır.)

Tablo 2. Bir ev inşa etme örneği için en uzak zamanların hesaplanması

Etkinlik	Acil olay Önceki	Zaman zaman fazlası - uzak aktivite	Hava = minimum artı Sonraki
13	__	___	44
12	13	44-6	38
on bir	12	38-0	38
10	13	44-2	42
9	12	38-5	33
	on bir	38-4
8	10	42-9	33
7	9	33-8	25
6	8	33-7	26
5	8	33-0	yirmi
	7	25-5
4	7	25-7	16
	6	26-6
	5	20-4
3	4	16-10	6
iki	3	6-4	iki
bir	iki	2-2	0

Tablo 3. Bir ev inşaatı örneği için boşlukların hesaplanması.

Etkinlik

Boşluk

Egzersiz yapmak

Boşluk

bir

iki

on bir

0 - 0 = 0

2 - 2 = 0

6-6 = 0

16 - 16 = 0

20 - 20 = 0

26-22 = 4

25-25 = 0

33-29 = 4

33 - 33 = 0

42 - 38 = 4

38 - 37 = 1

38 - 38 = 0

44 - 44 = 0

(1,2)

(2.3)

(3,4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(5.7)

(6.8)

(7.9)

(8.10)

(9.11)

(9.12)

(10.13)

(12.13)

2 - (0 + 2) = 0

6 - (2 + 4) = 0

16 - (6 + 10) = 0

20 - (16 + 4) = 0

26 - (16 + 6) = 4

25 - (16 + 7) = 2

25 - (20 + 5) = 0

33 - (22 + 7) = 4

33 - (25 + 8) = 0

42 - (29 + 9) = 4

38 - (33 + 4) = 1

38 - (33 + 5) = 0

44 - (38 + 2) = 4

44 - (38 + 6) = 0

Sıfır bolluğa sahip faaliyetler tablo 3'te doğrulanırsa, bir ev inşaatı örneğinin kritik bir yol olduğu, 1 ® 2 ® 3 ® 4 ® 5 ® 6 ® 7 ® 9 ® 12 ® 13, Şekil 2'de gösterildiği gibi koyu oklarla. Projenin tamamlanmasındaki gecikmelerden kaçınılacaksa, bu kritik faaliyetler dizisi kesinlikle zamanında tutulmalıdır. Diğer projelerin birden fazla kritik yolu olabilir; Örneğin, faaliyetin tahmini süresi (4,6) 6'dan 19'a değiştirildiğinde, şekil 2'de ne olacağına dikkat edin.

Tablo 3'te, kritik yoldaki tüm olayların (4 ve 7 dahil) zorunlu olarak sıfır gevşekliğe sahip olduğunu gözlemlemek ilginçtir, tahmin edilen süresi daha az olduğundan aktivite (4, 7) için durum böyle değildir. (4, 5) ve (5, 7) aktiviteleri için tahmini sürelerin toplamı. Sonuç olarak, bu son etkinlikler kritik yoldadır, ancak etkinlik (4, 7) değildir.

En yakın ve en uzak zamanlar, açıklıklar ve kritik yol hakkındaki bu bilgiler proje yöneticisi için paha biçilmezdir. Diğer şeylerin yanı sıra, nerede kalmak için özel bir çaba sarf edilmesi gerektiğini belirlemek ve gecikmelerin etkisini değerlendirmek için olası planlama iyileştirmelerinin etkisini araştırmanıza olanak tanır.

PERT

grafikleri PERT grafiği, i olayından başlayıp j olayında biten oklarla temsil edilen faaliyetlerin verilerini içeren ölçülmemiş ağların orijinal bir grafiğidir.

Okun üst kısmında kimlik numarası, genellikle olay numaraları (ij) belirtilmiştir. Faaliyetin standart süresi (t) altta bir dikdörtgen içinde görünür. Etkinliğin üst yarısında ilerleyen sayı not edilir, sol alt çeyrekte projenin son okuması ve sağ alt çeyrekte projenin ilk okuması.

Bu grafik, gevşek matrise başvurmak zorunda kalmadan her bir faaliyetin en erken ve en son başlangıç ve bitiş tarihlerini bildirme avantajına sahiptir.

Fabrika genişlemesinin bir PERT çizelgesi aracılığıyla nasıl sunulduğunu görelim.

Aktiviteler Ağı

Olaylarını, sıralarını, ilişkilerini ve kritik yolu gösteren faaliyetlerin grafik temsiline ağ denir. Sadece yöntem değil, aynı zamanda projenin başlangıcından tamamlanmasına kadar sayılan ve yürütme sürelerinde hiçbir esnekliği olmayan faaliyetler dizisi de serideki faaliyetlerden herhangi birinin neden olduğu herhangi bir gecikmeye neden olacaktır. tüm projede bir gecikme.

Başka bir bakış açısına göre, kritik yol, projenin toplam süresini gösteren faaliyetler dizisidir. Faaliyetlerin her biri, bir olayda başlayıp diğerinde biten bir okla temsil edilir.

Bir olaya, bir faaliyetin başlama veya sona erme anı denir. Başlatma veya fesih olan en erken ve mümkün olan en son arasındaki değişken bir zamanda belirlenir.

Olaylar ayrıca düğüm isimleriyle de bilinir.

Etkinlik olayı

Ben j

Başlangıç olayına i ve bitiş olayına j adı verilir. Bir aktivitenin bitiş olayı, bir sonraki aktivitenin başlangıç olayı olacaktır.

Oklar vektör, skaler değildir ve herhangi bir ölçüyü temsil etmez. Okların şekli, ağın sunumunun ihtiyaçlarına ve kolaylığına göre çizileceklerinden önemli değildir. Yatay, dikey, yükselen, alçalan, eğimli, düz, kırık vb. Olabilirler.

Bir faaliyetin bir diğeriyle karşılıklı ilişkisi veya devamı olduğunu belirtmenin gerekli olduğu durumlarda, ikisi arasına sıfır süresi olan noktalı bir çizgi çekilecektir.

Lig bazen bir sonraki aktiviteye başlamak için bir bekleme süresini temsil edebilir.

Birkaç aktivite bir olayda sona erebilir veya aynı olaydan başlayabilir.

(a) Yanlış, (b) Doğru .

Ağı oluştururken aşağıdakilerden kaçınılmalıdır:

Aynı olaydan başlayıp aynı olaya ulaşan iki aktivite. Bu, zaman ve süreklilik karmaşasına neden olur. Başlangıç etkinliği veya bitiş etkinliği iki etkinlikte açılmış ve bir lig ile bağlantılı olmalıdır.

Bir aktiviteyi başka bir aktivitenin ara bölümünden ayırın. Her aktivite, her zaman bir olayda başlamalı ve diğerinde bitmelidir. Bu durum ortaya çıktığında, temel veya ilk faaliyet yüzdelere göre olaylara bölünür ve ikincil faaliyetler bunlardan türetilir.

(a) Yanlış; (b) Doğru.

Ağı bitirirken olayları gevşek bırakın. Hepsi ilk olayla veya son olayla ilgili olmalıdır.

(a) Yanlış; (b) doğru

PERT üç tahmin yaklaşımı.

Şimdiye kadar, tahminlerin her proje faaliyeti için gerekli sürenin makul doğruluğu ile elde edilebileceği üstü kapalı olarak varsayılmıştır. Gerçekte, bu zamanların ne olacağı konusunda çoğu kez oldukça belirsizlik vardır; aslında belirli bir olasılık dağılımına sahip rastgele bir değişkendir. PERT'in orijinal versiyonu, olasılık dağılımları hakkında temel bilgileri elde etmek için faaliyetlerin zamanları için üç farklı tahmin türü kullanarak bu belirsizliği hesaba katar. Faaliyetlerin tüm zamanları için bu bilgiler, projeyi planlanan tarihte bitirme olasılığını tahmin etmek için kullanılır.

PERT tarafından her faaliyet için kullanılan üç tahmin, en olası tahmin, iyimser bir tahmin ve kötümser bir tahmindir. En olası tahmin (m ile gösterilir), bir faaliyetin alabileceği zamanın en gerçekçi tahmini olmaya çalışır. İstatistiksel açıdan, faaliyetin zamanı için olasılık dağılımının modunun (en yüksek nokta) bir tahminidir. İyimser tahmin (a ile gösterilir), her şey yolunda giderse olası olmayan ancak olası zaman olmaya çalışır; esasen olasılık dağılımının alt sınırının bir tahminidir. Son olarak, kötümser tahmin (b ile gösterilir), her şey ters giderse olası olmayan ancak olası zaman olmaya çalışılır. İstatistiksel olarak,esasen olasılık dağılımının üst sınırının bir tahminidir. Şekil 3, olasılık dağılımına göre bu üç tahminin ideal konumunu göstermektedir.

Geçen zaman

Şekil 3. Üç PERT tahmini yaklaşımındaki faaliyetlerin zamanları için olasılık dağılım modeli: m = olası tahmin, a = iyimser tahmin ve b = kötümser tahmin.

M, a ve b'yi beklenen değer (t _e) ve etkinlik için gereken zamanın varyans (s ²) tahminlerine dönüştürmek için iki varsayım yapılmıştır. Bir varsayım, standart sapmanın (varyansın karekökü) makul şekilde olası zaman gereksinimleri aralığının altıda birine eşit olmasıdır; bu, varyansın istenen tahminidir. Bu varsayımı yapmanın mantığı, birçok olasılık dağılımının (normal dağılımda olduğu gibi) kuyruklarının ortalamadan aşağı yukarı üç standart sapma olarak kabul edilmesidir, böylece aralarında yaklaşık altı standart sapma vardır. Kuyruklar, örneğin, istatistiksel kalite kontrol için yaygın olarak kullanılan kontrol çizelgeleri, kontrol sınırları arasındaki dağılımın altı standart sapma olacağı tahmin edilecek şekilde oluşturulur.

Beklenen değerin tahminini elde etmek için (t _e), olasılık dağılımının şekli hakkında bir varsayım da gereklidir, dağılımın (en azından yaklaşık olarak) bir beta dağılımı olduğu varsayılır. Bu tür bir dağıtım, bu amaç için makul olan Şekil 3'te gösterilen forma sahiptir.

Şekil 3'te gösterilen model kullanılırsa, bir faaliyetin zamanının beklenen değeri yaklaşık olarak

(A + b) / 2 aralığının ortasının a ve b arasında uzandığına dikkat edin, böylece t _e, modun ağırlıklı aritmetik ortalaması ve aralığın yarısıdır, mod için üçte iki ağırlık ile. Bir beta dağılımının varsayımı keyfi olsa da, beklenen am, a ve b değerini makul görünen bir şekilde bulma amacına hizmet eder.

Faaliyetlerin her biri için beklenen değeri ve tahmini varyansı hesapladıktan sonra, projeyi zamanında tamamlama olasılığını hesaplamak için üç ek varsayıma (veya yaklaşıma) ihtiyaç vardır. Birincisi, faaliyetlerin zamanlarının istatistiksel olarak bağımsız olmasıdır. İkincisi, kritik rotanın (beklenen zamanlar açısından) her zaman diğer rotalardan daha uzun bir toplam süre gerektirmesidir. Bu, beklenen değerin ve varyansın, bu normal rastgele değişkenin (proje süresi) planlanan tamamlanma süresinden daha az olma olasılığını bulmanın kolay olduğu anlamına gelir.

Zaman ve maliyet arasındaki değiş tokuşlar için BGBM yöntemi

CPM ve PERT'nin orijinal versiyonları iki önemli yönden farklılık gösterir. İlk olarak, CPM, aktivite sürelerinin deterministik olduğunu varsayar (yani, önemli bir belirsizlik olmadan güvenilir bir şekilde tahmin edilebilirler), böylece az önce açıklanan üç tahmine ihtiyacınız yoktur. İkincisi, zamana (açıkça) birincil önem vermek yerine, CPM, zaman ve maliyete eşit önem verir ve bunu, her faaliyet için bir zaman-maliyet eğrisi oluşturarak vurgular. Şekil 4. Bu eğri, faaliyet için bütçelenen doğrudan maliyet ile bunun sonuçlanan süre süresi arasındaki ilişkiyi temsil eder.

Şekil 4. Faaliyet için zaman-maliyet eğrisi (i, j).

Genel olarak, grafik iki noktaya dayanmaktadır: normal ve yoğun veya kesintili. Normal nokta, ek maliyete (fazla mesai, zaman tasarrufu için özel ekipman veya malzeme vb.) Neden olmadan, normal şekilde faaliyet yürütüldüğünde gerekli olan maliyeti ve zamanı verir. Faaliyetin hızlandırılması. Aksine, kırılma noktası, faaliyet yoğun veya kesintili bir şekilde gerçekleştirildiğinde, yani süre süresini olabildiğince kısaltmak için, maliyete bakılmaksızın tamamen hızlandırılırken gerekli süre ve maliyeti sağlar. Yapabilmek. Bir yaklaşım olarak, daha sonra zaman ve maliyetler arasındaki tüm ara değiş tokuşların mümkün olduğu ve bu iki noktayı birleştiren doğru segmenti üzerinde yattıkları varsayılır. (Şekil 4'teki koyu çizgi bölümüne dikkat edin). Yani,proje personelinin elde etmesi gereken tek tahmin, bu iki öğe için maliyet ve zamandır.

CPM'nin temel amacı, minimum maliyetle planlanan proje tamamlanma süresini karşılamak için her bir faaliyette kullanılması gereken zaman ve maliyet arasındaki dengeyi belirlemektir.

Zaman ve maliyetin optimum kombinasyonunu belirlemenin bir yolu, doğrusal programlama uygulamaktır. Bunu keşfetmek için, bir kısmı şekil 4'te özetlenen yeni notasyonu tanıtmak gerekir.

D _ij = aktivite için normal zaman (i, j)

CD _ij = aktivite için normal (doğrudan) maliyet (i, j)

d _ij = aktivite için mola süresi (i, j)

Cd _ij = (doğrudan) aktivite için mola maliyeti (i, j)

Problem için karar değişkenleri, x _ij'dir, burada

x _ij = faaliyetin süresi (i, j)

O zaman her aktivite için bir karar değişkeni x _ij vardır, ancak i ve j değerleri için karşılık gelen bir aktiviteye sahip olmayan hiçbiri yoktur.

Aktivitenin (i, j) doğrudan maliyetini X _jj'nin bir (doğrusal) fonksiyonu olarak ifade etmek için, doğrunun normalden eğimini ve aktivite (i, j) için kırılma noktalarını şu şekilde ifade edin:

Şekil _{2'de gösterildiği} gibi K _ij'yi bu çizginin doğrudan maliyet ekseni ile kesişim olarak da tanımlayın. 4, dolayısıyla,

etkinliğin doğrudan maliyeti (i, j) = K _ij + S _ij x _ij,

sonuç olarak, projenin toplam doğrudan maliyeti =

toplamın tüm faaliyetlere yayıldığı yer (i, j). Artık problem matematiksel olarak ifade edilebilir ve formüle edilebilir.

Sorun: Projenin T (maksimum) tamamlanma süresi verildiğinde, projenin toplam doğrudan maliyetini en aza indiren x _jj'yi seçin.

Doğrusal Programlama Formülasyonu. Problemin doğrusal programlama formülasyonunda proje tamamlanma süresini hesaba katmak için, her olay için bir değişken daha gereklidir. Bu ek değişken,

X _ij'nin deterministik bir fonksiyonu olan olay k için yk = en yakın (bilinmeyen) zamandır.

Her yk, bir yardımcı değişkendir, yani formülasyonda uygun olduğu ve bir kararı temsil etmediği için modele eklenen bir değişkendir. Simpleks yöntemi yardımcı değişkenleri normal karar değişkenleriyle aynı şekilde ele alır (x _ij).

Yk'lerin formülasyona nasıl dahil edildiğini görmek için Şekil 1'deki olay 7'yi düşünün. Tanım olarak en yakın zamanı:

y ₇ = max {y ₄ + x ₄₇, y ₅ + x ₅₇ },

Başka bir deyişle y ₇, aşağıdaki iki kısıtlamanın geçerli olduğu en küçük miktardır:

y ₄ + x ₄₇ < y ₇

y ₅ + x ₄₅ < y ₇, bu nedenle bu iki kısıt doğrudan doğrusal programlama formülasyonuna dahil edilebilir (uygun formu elde etmek için y _7'yi sol tarafa geçtikten sonra). Yine ayrıca, biz tam model için basit bir yöntem ile elde edilen optimal çözüm otomatik y değeri yapacak niçin daha sonra göreceği ₇ tatmin bu kısıtlamaların, bu nedenle artık gerekli olduğunu en küçük miktar olmak y ₇ tanımını modele dahil etmek için kısıtlamalar.

Tüm olaylar için bu kısıtlamaların süreci ve dahil edilmesi içinde, her x _ij değişkeni bu türden tam olarak bir kısıtlamada görünecektir, uygun bir şekilde ifade edilebilir

Tam doğrusal programlama modeli yazma hazırlıklarını devam etmek için, onlar etiketli

Olay 1 = başlatmak Projesi , Olay n = proje ucunu

dolayısıyla

= 0

= tamamlanma süresi..

Ayrıca, hedef fonksiyondan çıkarılabilen sabit bir sabit olduğuna dikkat edin, böylece proje için toplam doğrudan maliyeti en aza indirgemek, maksimize etmeye eşdeğerdir.Bu nedenle, doğrusal programlama problemi (ve karşılık gelen) olanları

Üst Düzeye

Tut şunu:

Tüm aktiviteler için (i, j)

Hesaplamalı bir bakış açısına göre, bu model bir şekilde tümü yerine tümü kullanılarak geliştirilebilir.

model boyunca, böylece ilk fonksiyonel kısıtlamalar () grubu olumsuz olmayan kısıtlamalarla değiştirilir.

Değişkenlerin geri kalanı için olumsuzluk içermeyen kısıtlamaların getirilmesi de uygundur:

bu değişkenler, y ₁ = 0 ayarlanırken zaten negatif olmamaya zorlanmış olsa da, kısıtlamalar ve

Bu model için optimal bir çözümün ilginç bir özelliği, (normal şartlar altında) ağdaki her yolun bir süre T gerektiren kritik bir yol olmasıdır. Bunun nedeni, böyle bir çözümün ek maliyetlerden kaçınırken kısıtlamaları karşılamasıdır. herhangi bir yörüngenin süresini kısaltmak için maruz kaldı.

Bu formülasyonun anahtarı, ilgili olaylar için en yakın süreleri sağlamak için (mevcut temel uygulanabilir çözümdeki değerleri verildiğinde) kısıtlamalarla modele tanıtılma şeklidir. Sırayla en yakın zamanların elde edilmesi gerektiğinden, bunların tümü nihayetinde doğru değeri (nin mevcut değerleri için) elde etmek ve böylece kısıtlamayı güçlendirmek için gereklidir. Bununla birlikte, doğru değeri elde etmek, her birinin (çiftinin) değerinin tüm kısıtlamaları karşılayan en küçük miktar olmasını gerektirir. Şimdi, bu özelliğin neden (normal koşullar altında) optimal bir çözüm için geçerli olduğunun kısa bir açıklaması yapılacaktır.

Değişkenler için, ağdaki her yolun kritik olacağı ve bir süre T gerektireceği şekilde bir çözüm düşünün. Las'ın değerleri önceki özelliği karşılarsa, o zaman las tam olarak en yakın gerçek zamanlardır ve y için tam çözüm hepsini sağlar Kısıtlamalar. Bununla birlikte, eğer bazıları biraz büyürse, bu, bazılarının kısıtlamaları vb. Karşılamak için biraz daha büyümesi gereken bir zincirleme reaksiyon yaratır, ta ki nihayetinde biraz daha büyümeleri gerekene kadar. ve kısıtlama ihlal edilir. Bundan biraz daha büyük olanı ile bunu önlemenin tek yolu, bazı faaliyetlerin (i olayından sonra) sürelerini biraz kısaltmak ve böylece maliyeti artırmaktır. Böylece,optimal bir çözüm, kısıtlamaları karşılamak için gerekenden daha büyük olmalarını önleyecektir.

Burada belirtildiği gibi sorun, projenin tamamlanması için belirli bir teslim tarihi T (belki sözleşme ile) ayarlandığını varsayar. Bazı projelerin aslında bir bitiş tarihi yoktur, bu durumda doğrusal programlama formülasyonunda T'ye hangi değerin atanacağı açık değildir. Bu tür bir durumda, T ile ilgili karar (en uygun çözümde projenin süresi olarak ortaya çıkar), aslında toplam maliyet ile projenin toplam süresi arasındaki en iyi değiş tokuşun hangisi olduğuna bağlıdır.

Bu kararı vermek için gereken temel bilgi, Şekil 5'te gösterildiği gibi, önceki formülasyondaki T değeri değiştiğinde minimum toplam doğrudan maliyetin nasıl değiştiğidir. Bu bilgi elde etmek için parametrik doğrusal programlama kullanılarak elde edilebilir. tüm aralık boyunca T'nin bir fonksiyonu olarak optimal çözüm. Sorunun özel yapısından yararlanan bu bilgiyi elde etmek için daha da verimli prosedürler vardır.

Şekil 5, proje süresinin önemli etkileri (doğrudan maliyetler dışında) esasen soyut olduğunda yöneticinin T değeri (ve buna karşılık gelen optimal çözüm) konusundaki karar vermesi için yararlı bir temel sağlar. Şimdi, temelde finansal olan bu diğer etkiler (dolaylı maliyetler) olduğunda, şekil 5'teki toplam doğrudan maliyet eğrisini t'ye karşı minimum toplam dolaylı maliyet (denetim, tesisler, faiz, sözleşme cezaları) eğrisiyle birleştirmek uygun olur, Şekil 6'da gösterildiği gibi. Bu eğrilerin toplamı, farklı T değerleri için projenin minimum toplam maliyetinin eğrisini sağlayacaktır. O zaman T'nin optimal değeri, bu toplam maliyet eğrisini en aza indiren değer olacaktır.

PERT ve CPM arasında seçim

PERT üç tahmin yaklaşımı ile CPM zaman-maliyet ödünleşimi yöntemi arasındaki seçim, öncelikle proje türüne ve yönetim hedeflerine bağlıdır. PERT, faaliyet sürelerini tahmin ederken ve proje planlamasını etkili bir şekilde kontrol etmenin önemli olduğu durumlarda çok fazla belirsizlikle başa çıkarken özellikle uygundur; örneğin, çoğu araştırma ve geliştirme projesi bu kategoriye girer. Öte yandan, etkinlik zamanları iyi tahmin edilebildiği zaman CPM çok uygundur.

(belki deneyime dayalı olarak) ve bu zamanların ne zaman kolayca ayarlanabileceği (örneğin, tugay büyüklükleri değiştirilirse) ve proje süresi ile maliyet arasında uygun bir kombinasyon planlamanın önemli olduğu zamanlar. İkinci tip, birçok inşaat ve bakım projesi ile temsil edilmektedir.

Şu anda, PERT ve CPM'nin mevcut sürümleri arasındaki farklar açıklandığı gibi işaretlenmemektedir. PERT'in birçok versiyonu, her aktivite için tek bir tahminin (en muhtemel olanı) kullanılmasına izin verir, böylece olasılık araştırmasını atlar. PERT / Maliyet adlı bir sürüm de CPM'ye benzer şekilde zaman ve maliyet kombinasyonlarını dikkate alır.

PERT ve CPM Arasındaki Farklar

PERT ve CPM arasındaki fark, zaman tahminlerinin yapılma şeklidir. E1 PERT, faaliyetlerin her birini gerçekleştirme süresinin bir olasılık dağılımı ile tanımlanan rastgele bir değişken olduğunu varsayar. Öte yandan CPM, faaliyetlerin zamanlarının belirleyici bir şekilde bilindiğini ve kullanılan kaynakların düzeyini değiştirerek değiştirilebileceğini belirtir.

PERT'in bir etkinlik için varsaydığı zaman dağılımı bir beta dağılımıdır. Herhangi bir faaliyetin dağılımı üç tahminle tanımlanır:

en olası zaman tahmini, m, en iyimser zaman tahmini, a; ve en karamsar zaman tahmini, b.

Dağılımın şekli aşağıdaki Şekilde gösterilmektedir. En olası zaman, aktiviteyi normal koşullar altında tamamlamak için gereken süredir. İyimser ve kötümser zamanlar, ekipman arızaları, işgücü kullanılabilirliği, malzeme gecikmeleri ve diğer faktörler dahil olmak üzere faaliyetin doğasında var olan belirsizliğin bir ölçüsünü sağlar.

Tanımlanan dağılımla, Z aktivitesi için aktivite süresinin sırasıyla ortalama (beklenen) ve standart sapması, yaklaşık formüller kullanılarak hesaplanabilir.

Bir projenin beklenen tamamlanma süresi, kritik yoldaki faaliyetlerin beklenen tüm sürelerinin toplamıdır. Benzer şekilde, faaliyetlerin zaman dağılımlarının bağımsız olduğunu varsayarsak (gerçekçi olarak, oldukça sorgulanabilir bir varsayım), proje varyansı, kritik yoldaki faaliyetlerin varyanslarının toplamıdır. Bu özellikler daha sonra gösterilecektir.

BGBM'de yalnızca bir zaman tahmini gereklidir. Tüm hesaplamalar, çalışma süresinin bilindiği varsayımıyla yapılır. Proje ilerledikçe, bu tahminler ilerlemeyi izlemek ve izlemek için kullanılır. Projede herhangi bir gecikme olursa, kaynakların tahsisini değiştirerek projeyi programa geri döndürmek için çaba gösterilir.