Uğraştığımız rekabetçi dünya, başarı için, tutarlı ve verimli kararlar verebilen, mevcut olanaklardan ve kaynaklardan en iyi şekilde yararlanabilen yöneticiler gerektirir. Karar analizi teknikleri, ekonomik yönetimin pratik faaliyetlerinde artan bir rol oynamaktadır, gelişimlerini yönlendiren nedenler çoktur: kaynakları optimize etme ihtiyacı, çatışma ve belirsizlik koşullarında tutarlı kararlar alma, Uzmanların deneyimlerini modelleme ve özümseme, grup kararlarını kolaylaştırma, bilgi işlem uygulamalarını vb.
Modern dünyada karar destek alanında önemli bilgi birikimine sahip iş adamları yetiştirilmektedir. Mevcut girişimci de bu tekniklerin yardımıyla karar verme için destek arayabilir, bu nedenle mevcut ekonomik ortamda bunları bilmenin önemi.
Anahtar kelimeler: karar, çok kriterli, sıralama, geçiş ilişkisi,
multicriterial-teknikleri-için-iş-karar verme- Çok Kriterli Karar Verme
Karar verme süreçleri geleneksel olarak aşağıdaki gibi özetlenebilecek bir paradigmaya dayalı olarak analiz edilmiştir:
- En iyi çözüme karar vermek istediğiniz kriteri seçin.Sorunun çözümünü sınırlayan kısıtlar kümesi tanımlanır.
Daha sonra, az ya da çok karmaşık teknikler kullanarak, seçilen kriterden daha iyi bir değer elde eden için çözümler arasında arama yapmaya devam ediyoruz, buna optimum çözüm denir.
Bu yapıya göre olası çözümler, problemin bir dizi kısıtlamasına uyan ve karar verici tarafından seçilen kriterin en iyi değerlerini temsil eden çözümlerdir.
Bu problem mantıksal açıdan büyük bir sağlamlığa sahiptir, ancak onu gerçek iş karar alma süreçlerinden önemli ölçüde saptıran önemli zayıf yönleri vardır. Gerçekte karar vericilerin tek bir kritere göre çözüm bulmakla ilgilenmediği, bunun yerine tercihlerini yansıtan farklı kriterlere göre bu görevi yerine getirmek istedikleri göz önüne alındığında.
Bu nedenle, bir şirket yalnızca kâr kriterine göre değil, aynı zamanda satış hacmi, risk vb. Gibi diğer kriterleri de göz önünde bulundurarak en iyi çözümü bulmak ister. Tarımda, en iyi mahsul rotasyonunu belirlemekle ilgilenebilir: nüfusu desteklemek için yeterli gıda üreten, faydaları maksimize eden, maliyetleri en aza indiren vb. Balıkçılık durumunda, filonun yapısını oluşturmak istiyorsanız, bu yapıyı aşağıdaki kriterlere göre elde etmek isteyebilirsiniz: maliyet, istihdam, biyolojik türlerin bakımı vb.
Bir süpermarkete gitmek ve en ucuz şarap şişesini seçmek, kendi başına bir seçim sorunu değil, basit bir arama sorunu anlamına gelir. Bununla birlikte, mümkün olduğunca uyumlu bir şekilde bir şişe şarap seçmek: fiyat, en yüksek mezuniyet, en eski vintage vb. Çelişkili kriterlerin olduğu ve sahip olduğunuz tercihler veya yargılarınıza göre çözülecek bir sorun teşkil eder. söz konusu tüketici.
Kısa tarihsel inceleme.
Çok kriterli karar verme problemi, karar bilimi alanında (yöneylem araştırması, kaynak yönetimi, vb.) Son yıllarda belki de en aktif gelişme alanıdır. Bu nedenle, 1975'te İspanyol Operasyonel Araştırma Derneği Kongresine sunulan makalelerin yalnızca% 3,5'inin çok kriterli konulara ayrıldığını, ancak bu oranın 1985'te önemli ölçüde arttığını, bu konunun sunulan makalelerin% 14'ünü temsil ettiğini söyleyebiliriz. yani o tarihte her 7 eserden biri çok kriterliydi. Ekim 1972'de Amerika Birleşik Devletlerinde Karar Verme üzerine ilk Dünya Kongresi düzenlendi.Şu anda, her yıl bu tekniklerin iş ortamında kullanımı ve geliştirilmesine ilişkin makalelerin tartışıldığı farklı bölgesel konferanslar düzenlenmektedir.
Bu ve diğer örnekler, gerçek karar verme sürecinde, geleneksel paradigmanın zımnen varsaydığı gibi, yalnızca tek bir ölçüt veya hedef dikkate alınmadan, birden çok kritere dayalı olarak en iyi kararın bulunmasının arzu edildiğini göstermektedir.
Bu verilere göre sormaya değer:
- Karar bilimleri alanında bu bilimsel devrim başladığında, hangi tarihsel anda çok kriterli karar paradigmasının bilim camiası tarafından kabul edildiği söylenebilir.
İlk sorunun cevabı:
Geliştirilen ilk eserler Koopmans 1951) ve Kuhn & Tucker (1951) idi. Çok kriterli paradigmanın geliştirilmesi için bir başka önemli çalışma, Charnes, Cooper ve Ferguson (1955) tarafından geliştirilen ve daha sonra 1961'de Charmes & Cooper tarafından iyileştirilen çalışmadır.
Bu öncü fikirler, diğer araştırmacılar tarafından geliştirildi ve 1972'de Birinci Dünya Çok Kriterli Karar Verme Kongresi'nde doruğa ulaştı. Böyle bir olay, çok kriterli karar verme paradigmasının doğuşu ve aynı zamanda bilim dalında yeni bir dönemin başlangıcı olarak kabul edilebilir. karar.
İkinci soru:
Bilimsel topluluk tarafından çok kriterli karar paradigmasının tartışılmaz başarısı ve sosyolojik desteği, bir derginin, Journal of Multi - Criteria Decision Analysis'in ortaya çıkmasıyla sonuçlandı. Bu, iki karar bağlamının varlığını doğrulamıştır: tek kriterli ve çoklu kriter. O halde, tek kriterli karar teorisinin, çok kriterli yaklaşımın yerini aldığı eski bir paradigma oluşturduğu söylenebilir. Eski yaklaşım, özel bir örneği olarak yeni paradigmaya indirgenebilir.
İşle ilgili karar vermenin önemi.
Uluslararası iş ortamında matematiksel tekniklerin artan uygulamasına rağmen, bu tekniklerin girişinde hala sınırlamalar vardır. Bu, başlangıçta güçlü hesaplama araçlarına ve özel yazılıma sahip olmanın imkansızlığı ile motive edilir; bu, yüksek maliyeti nedeniyle, karar vericilerin az kültür ve eğitimine ek olarak, karar verme sürecinin ampirik olarak yürütülmesi, göreve katılan insan faktörünün deneyimi.
Ancak son yıllarda meydana gelen tüm olaylarla, acil olarak verimli organizasyonların yapılması ihtiyacı, enerji kaynaklarından tasarruf etme sorumluluğu, kaynakları rasyonel kullanma ihtiyacı, giderek talepkar, bilinçli ve hazırlıklı bir müşteriyi memnun etmek., karar verme paradigmasını optimizasyon yaklaşımından çok kriterli bir yaklaşıma değiştirme ihtiyacına neden olmuştur, burada karar vericinin hareket tarzını rasyonel bir şekilde modelleyen çözümlerin elde edilmesi, çünkü temel olan tasarruf elde etmeyi sağlayan tekniklere ve / veya araçlara yaklaşmamaktır. bir şirketin herhangi bir yönünde, ancak toplam maliyetlerin azaldığı ve hizmetin iyileştirildiği bir çözüm aramak,Buradan, dağıtım yollarının tasarımının bir hedefi olarak maliyetleri en aza indirmenin mümkün olmadığı, aynı zamanda şimdiye kadar dikkate alınmamış bir husus olan müşteri hizmetinin kalitesini yükseltmenin mümkün olmadığı çıkarılabilir.
Şirketlerin faaliyeti, içine yerleştirildikleri ortam olan çevreleyen gerçeklik içinde gerçekleşir, bu ortamın operasyonları üzerinde belirleyici bir etkisi vardır, çünkü büyük ölçüde bunların daha büyük veya daha az başarısı bağlıdır. dış unsurlarla doğru bir şekilde ilişkilendirilmesindeki başarısı
Mevcut ortam, toplum tarihinde meydana gelen en büyük ekonomik kriz nedeniyle büyük bir belirsizlikle karakterize edilmiştir. Bu aşamada, üretim oranlarını nihai talebe göre ayarlamak, stokları, maliyetleri azaltmak için tedarikçilerin, distribütörlerin ve müşterilerin eylemlerini kontrol ederek, çevrenin işletme yönetimi üzerindeki etkisi giderek daha fazla fark edilmektedir. toplamları ve teslimat sürelerini kısaltın.
Küba, 1986 yılına kadar, dikeyleştirilmiş bir idari eğitimle, üretilecek ürünlerin miktarına vurgu yapılan bir verimlilik modeli altında çalıştı; üretim yöneticileri, müşteri talebine bakılmaksızın, yalnızca ürünlerin modasının geçtiğini ve bu da işletmeleri kârsız hale getirdiğini üretmekle ilgileniyordu. Sosyalist kampın çöküşü ülkeyi boğucu bir ekonomik duruma sürüklüyor ve bu, çevrenin özellikleriyle birlikte şirketlerimizin yönetimindeki yaklaşımın değiştirilmesini gerekli kılıyor: müşteriye ürün satma felsefesinden müşterinin ihtiyaçlarını karşılama felsefesine geçme. müşteri, bu bir Verimlilik modelinden hedeflere göre idari eğitimle Rekabetçilik modeline geçiş yapan bir hizmet felsefesidir.katılımcı, burada en önemli şey müşteriye hızlı yanıt vermektir.
Çok kriterli kararlar.
Karar Analizi nedir? Farklı açılardan tanımlanabilir, teknik bir tanım şöyledir: »Problemlerin içsel karmaşıklığını analiz etmek için bir dizi mantıksal aksiyom ve bir prosedürel metodoloji ile ifade edilen bir felsefe”.
Karar sorunu nedir? Belirli optimizasyon kriterleri altında en iyi sonucu üreten, bir dizi olası eylem içinde bir eylem veya alternatifin seçimidir.
Karar verme, nicel faktörlerin karar veren erkeklerin sezgisel kapasiteleriyle birleştirildiği bir dizi olası karardan seçimin yaratıcı eylemi olarak kabul edilir *
Bu nedenle, bir işle ilgili karar verme sorununun var olması ve dağıtım yolu tasarım sorunu için önerilen karar sürecinin farklı aşamalarının anlaşılmasına olanak tanıması için, onu karakterize eden aşağıdaki unsurların mevcut olması gerekir:
- problemle ilgilenen bir grup bireyden oluşan bir karar verici veya karar alma birimi, en az iki alternatifin varlığı veya olası kararlar x Î X ve ilgi alanı:
- birini (veya birkaçını) (en iyi veya en iyiyi) seçin, iyi görünenleri kabul edin ve kötü görünenleri reddedin, bir sıraya göre hepsinin sıralaması (sıralama),
- her bir alternatifin bir sonuca atanmasına izin veren bir ilişkiler sistemi. Bu sonuçlar z Î Z belirli ölçülerle (özniteliklerle), karar vericiden elde edilecek bir dizi girdi bilgisi gereksinimi ile tanımlanır ve bu, uygun bir metodoloji, testlerin veya deneysel doğrulamaların oluşturulmasına atıfta bulunan prosedürün doğrulanması anlamına gelir. Önerilen prosedürün yerleşik amaçları karşıladığı sonucuna varır.
Çok kriterli bir karar problemi ile karşılaşılması için gerekli bir koşul, birden fazla kriterin varlığıdır; yeterli koşul, kriterlerin çelişkili olmasıdır. Bu nedenle, bir sorun, ancak ve ancak en az iki çelişen kriter varsa ve en az iki alternatif çözüm varsa, çok kriterli bir problem olarak kabul edilebilir.
Kriterlerin kesinlikle çelişkili olduğu söylenir; bu, birinin memnuniyetindeki artışın diğerinin memnuniyetinin azalması anlamına geldiği anlamına gelir, bu nedenle çok kriterli sorunun yeterli koşulu, kriterlerin kesinlikle fikir ayrılığı.
Çok kriterli karar verme, yeni kavramları içeren belirli bir terminolojiyi kullanan kendi kişiliğini geliştirmiştir, tanıtılacak kavramlardan bazılarının aynı anlamsal anlama sahip olduğu ve bir veya diğerinin teorik bağlama bağlı olarak kullanılacağı unutulmamalıdır. kullanılanlar aşağıda tanımlanmıştır:
- Alternatifler: Karar verici * veya karar verme birimi tarafından alınabilecek olası çözümler veya eylemler Nitelikler: Mevcut alternatiflerin her birini tanımlamak için kullanılan karakteristik, niceliksel (nesnel) veya niteliksel (öznel) olabilir, her alternatif bir dizi öznitelikle karakterize edilebilir (karar verici tarafından seçilir) Hedefler: Seçilen özelliklerin iyileştirme yönlerini gösteren özlemler, karar vericinin istekleri ve tercihleri ile ilişkilendirilir Hedef: Özelliklerin arzu düzeylerini belirleyen özlemler Kriter: Kavramları kapsayan genel terim de: bir karar problemiyle ilgili olduğu düşünülen özellikler, amaçlar ve hedefler.
Karar analizi tekniklerinde: çok kriterli, çok amaçlı, çok özellikli terimler, birden fazla etkililik ölçüsüne sahip karar problemlerini tanımlamak için kullanılır, bir isim veya başka bir isimle belirsiz bir şekilde görünür, bu terimlerin evrensel bir tanımı yoktur, Birden çok yazarın tanımına göre, birden çok özniteliğe veya hedefe dayalı tüm yöntemlerin gruplandırıldığı terim olduğu ve bu nedenle iki kısma ayrıldığı Çok Ölçütlü Karar Vericinin (MCDM) tanımını kabul etti: açık bir dizi içinde "en iyi alternatifi" seçmek için kullanılan çok nitelikli kararlar (MADM); ve çok amaçlı optimizasyon (MODM), alternatifler kümesinin büyük olduğu ve önceden belirlenmediği problemlerle ilgilidir,Kısıtlamalarla etkileşimi dikkate alarak en iyi alternatifi tasarlamak için kullanılır, farklı nitelik ve içerikteki durumları çözerler.
Çoklu Hedefler (MODM), alternatifler kümesinin geniş olduğu ve önceden belirlenmediği problemlerle ilgilidir, kısıtlamalarla etkileşim göz önünde bulundurularak »en iyi» alternatifi tasarlamak için kullanılır, bu problemlerin çözümüne klasik tekniklerle yaklaşılır. optimizasyonu.
Çoklu Öznitelikler (MADM), açık bir dizi içinde "en iyi alternatifi" seçmek için kullanılır, nihai karar özniteliklerin karşılaştırılması yardımıyla verilir.
Daha önce belirtildiği gibi, çok kriterli sorunun iki yönü vardır, bunlar aşağıdaki tabloda gösterilen farklı nitelik ve içerikteki durumları çözerler:
| Görünüm | MADM | ÇAKV |
| Kriter tanımlayan | Öznitellikler | hedefler |
| hedefler | üstü kapalı | Açık |
| Öznitellikler | Açık | üstü kapalı |
| Kısıtlamalar | pasif | Aktif |
| Alternatifler | Sonlu sayı (ayrık) | Sonsuz (sürekli) |
| kullanım | seçim | tasarlamak |
Çok ölçütlü problemlerin matematiksel olarak zayıf tanımlandığı söylenir, çünkü bir özelliğin yerine getirilmesi, bir alternatifin dikkate alınan özelliklerden bir başkasının (çelişen nitelikler) yerine getirilmesinde en iyi ve en kötü olmasına neden olduğu için, çözümünüz için alternatifler ve özellikler belirledikten sonra seçim süreci başlar. Belirli bir alternatifin veya hareket tarzının seçilmesinin sonuçları karar verici tarafından a priori tanımlanırsa, çok kriterli karar probleminin kesinlik altında olduğu söylenir.
Çok kriterli problemin formülasyonu
Sınırlı bir potansiyel eylemler kümesini düşünelim
A = {a i / i = 1,…., M}
tüm niteliksel ve niceliksel sonuçlarında tam olarak ve tam olarak bilinmese de her birinin tanımlanması gerekir. Bu sonuçların, f = {d j } j = 1,….., n'den oluşan bir kriter ailesi aracılığıyla analiz edilebileceği kabul edilmektedir; burada g j (a i), daha büyük veya daha az hassasiyet veya öznelcilikle yapılan değerlendirmeyi karakterize etmektedir. j kriteriyle birden i'ye. Sorun, toplu bir modelle çözülecek üç problemden birini belirlemekten ibarettir:
- A'dan bir (veya birkaç) hisse seçin (en iyi veya en iyi) iyi görünen hisse senetlerini kabul edin ve kötü görünenleri diğerleri için tamamlayıcı bir analizle reddeden hisse senetlerinin bir siparişe göre sıralaması
Tek ve çok kriterli kararlar
Karar analizi tekniklerinin, özellikle de çok kriterli tekniklerin uygulanması, sorunun çözümünü zenginleştirebilir ve yönetimin, şirketin verimliliğini artırmayı garanti eden kararlar almasına izin verebilir. Bu, aynı zamanda, bu tekniklerin monitere göre sunduğu avantajlardan dolayı daha esnek yöntemlerin uygulanmasına da yardımcı olur, bu, aşağıdaki tabloda gösterilen ve çelişen hedefler arasında daha iyi uzlaşma çözümlerinin elde edilmesiyle sonuçlanacaktır.
| Görünüm | Monocriterion | Çoklu kriterler |
| Kriterler | Benzersiz | En az 2 |
| Çözüm | En uygun | taahhüt |
| Karar verme tercihleri | Amaç işlevinde dikkate alınır | Sorunun çözümünde dikkate alınır |
| paradigma | Geleneksel | Çoklu kriterler |
| sorunlar | Teknolojik | Ekonomik ve teknolojik |
| Karar vericinin istekleri | Bir kriter | Çelişkili kriterler |
| zayıflık | Gerçek karar verme sorunlarından önemli ölçüde sapıyor | |
| kuvvet | Gerçek karar verme problemlerinde daha fazla hassasiyet. |
- Değer teorisi.
Giriş
MADM'yi karar yardımı olarak tanımlarsak, DM'nin birden fazla öznitelikle memnuniyetini en üst düzeye çıkaran en iyi alternatifi belirlemesine yardımcı olursak, 1950'lerden bu yana, hızlı ilerlemeye rağmen bu sorunu çözmek için birçok yöntemin geliştirildiğini görürüz. MADM, çok sayıda yöntemin geliştirilmesini gerekli kılmıştır.
Ayrık uzaylarda çok kriterli bir karar problemini çözmek için, aşağıdaki şemada görülebilen, karar verici tarafından oluşturulan girdi ve çıktı bilgilerine göre çok özellikli yöntemlerin bir sınıflandırması olan çeşitli matematiksel teknikler geliştirilmiştir:
Çok Nitelikli Yöntemlerin Sınıflandırılması
Normatif okul (esas olarak Amerikalılar ve İngilizler tarafından geliştirilmiştir): DM'nin sistematik olarak düşünmesi gerektiği şekilde normların belirlenmesine dayanmaktadır. Problemin modellenmesi, tanımlanmış aksiyomlar vb. İle verilen matematiksel bir zarafete sahiptir, model olarak rasyonaliteyi kullanır.
Tanımlayıcı okul (Avrupalılar (Fransızlar, Hollandalılar ve Belçikalılar) tarafından geliştirilmiştir: Rasyonel fikrinden vazgeçin, DM'nin karar alma şeklini yansıtmaya çalışın, aynı zamanda matematiksel bir formülasyona sahiptir ancak normatif okuldan daha az etkileyici.
DOMINANCE kavramı
Önerilen prosedürü daha hızlı ve verimli hale getirmek için değerlendirilecek alternatifler setini azaltmak için, elde edilen göstergelerin düşük performans göstermesi nedeniyle, özellikleri nedeniyle çözüm setinin bir parçası olmayacak alternatiflerin ortadan kaldırılması gerekmektedir. hakim alternatiflerin adı.
Kriterlerden en az birinde diğerinden daha iyi, diğerlerinde en azından eşitse bir alternatifin diğerine hakim olduğu, yani en iyi alternatifin hakim olmadığı, yani verimli çözümle örtüşen bir kavram olduğu söylenir. veya Pareto Optimal çözüm. Başka bir deyişle, tüm kriterlerde daha iyi veya eşit ve en az birinde kesinlikle daha iyi olan başka bir alternatif bulamazsınız.
Bunların matematiksel tanımı şöyledir:
Şöyle söylenir ki, A'da şu şekilde yoksa, A'nın baskın olmayan bir çözüm olduğu söylenir:
bazı j için
ve
i ¹ j için
Ağırlıklı Toplam Değer Fonksiyonu.
Normatif okul, bir sıralı değer fonksiyonu ve ölçülebilir veya kardinal bir değer fonksiyonu olduğunu tespit etmiştir; aralarındaki fark, sıralı değer fonksiyonunun, DM'nin tercihlerine göre adının belirttiği gibi bir sıralamayı ifade etmesidir, ancak Kardinal değer fonksiyonunda ele alınan bu tercihlerin yoğunluğunu ifade eder.
Aşağıdaki gibi alternatiflerin A kümesinde bir değer fonksiyonu olarak tanımlanır:
U (a)> U (b) Û a P b hepsi için (a, b) Î A
U (a) = U (b) Û bir ben b hepsi için (a, b) Î A
bunun anlamı şudur ki:
"A" nın değer işlevi "b" değer işlevinden büyükse, "alternatif a, alternatif b'ye tercih edilir" ve değer işlevleri eşitse bu, " alternatif a, b'ye kayıtsızdır, ikisi arasında seçim yapmak zorunda kalındığında tercih yoktur.
Sıralı değer işlevi, özellikle değer işlevinin en temel biçimi olan, ancak müşteri kümesini sipariş etmemize izin veren ağırlıklı toplam işlevi, aşağıdaki ifade ile hesaplanır:
nerede:
U i: Müşteri i'nin değer fonksiyonu.
W i: j kriterinin ağırlığı veya göreceli önemi.
f ij: i müşterisi için j ölçütünün değeri.
m: kriter sayısı.
Değer işlevinin inşası için, DM'yi uzun çalışma seanslarına tabi tutup biçimini ve tercihlerini belirlemek gerekir; bu, bir dizi aksiyomun gösterilmesi ve bu okul tarafından oluşturulan belirli koşulların yerine getirilmesi için gereklidir. Normatif okul, herhangi bir alternatif çifti (a, b) için yalnızca aşağıdaki tercih ilişkilerinin mümkün olduğu temelinde inşa edilmiştir: a> b, b> a veya a I b, yani alternatifler karşılaştırılabilir olmalıdır Oluşturulan modelde, DM'nin kayıtsızlık denklemini çözdüğü varsayılır ve bu, DM'nin her DM için var olan eşiklere göre kayıtsızlık ilan ettiği gerçeğiyle çakışır; Bazıları geniş, bazıları da dar,Bu argümanlar sadece bu tekniklerin kullanımı için elverişsizdir.
Kriterlerin önemi veya ağırlığı nasıl belirlenir?
Dikkate alınacak kriterlerin nispi ağırlıkları veya önemi, uzman yöntemlerle veya tek bir karar vericinin kriterleri dikkate alınarak belirlenecektir. Bu, karar verme sürecinde gerçekten önemli bir adımdır. Bunları belirlemek için, her bir karar vericinin çıkarlarının bir grup modeline aşağıdaki gibi entegre edilmesine izin veren bir prosedür kullanılması önerilmektedir:
nerede:
n: yargıç sayısı (karar vericiler)
m: kriter sayısı
r lj: yargıç l (karar verici l) tarafından verilen kriter j için oylama
W lj: yargıç l (karar verici l) tarafından verilen kriter j'nin ağırlığı
W j: j ölçütünün ağırlığı
Ağırlıkların değerleri aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:
ve
W j > W k ifadesi, j kriterinin k kriterinden daha önemli olduğunu belirtir ve W j = W k ifadesi her iki kriterin de eşit derecede önemli olduğunu belirtir. Birden fazla kriter aynı ağırlığa sahip olabilir, bazı W l için sıfır değeri kriterin önemsizliğini belirtirken, en yüksek değer o kriter için maksimum önemi belirtir.
- Karar vermede açıklayıcı teknikler.
ELECTRE yöntemlerinin felsefesi.
Önceki bölümde, normatif karar okuluna ait bazı yöntemleri inceledik, burada tanımlayıcı okula ait yöntemleri inceleyeceğiz. Bu okulun en önemli yöntemleri arasında üstünlük ilişkilerine (geçiş) dayalı yöntemler bulunmaktadır *** Bu yöntemler arasında en ilgili olanı, ilişki kavramını uyguladığı için bir felsefe olarak kabul edilen ELECTRE yöntemidir. üstünlük. Bunları geliştirmek için dört temel ilişki ortaya koymaktadır:
- Kayıtsızlık (I): (a I b) alternatiflerin eşdeğer olduğunu düşünmek için açık ve olumlu nedenler var Kesin tercih (P): (a P b) iki alternatiften birinin önemli ölçüde tercih edildiğini gerekçelendirmek için açık ve olumlu nedenler var Zayıf tercih (Q): (a Q b) iki seçenekten biri diğerine kesin olarak tercih edilmiyor, ancak bunların kayıtsız olduğunu söylemek imkansız, dolayısıyla birinin tercihi diğerine göre zayıf. Karşılaştırılamaz (R): (a R b) Alternatifler, önceki üç durumdan hiçbirinin baskın olmaması açısından kıyaslanamaz.
Bu okul aynı zamanda kayıtsızlık eşiklerinin * ve tercih eşiklerinin ** varlığını kabul etmektedir.
Eşiklerin kullanımını gösteren bir örnek:
Diyelim ki bulaşık deterjanı satın almak istiyorsunuz ve markete gittiğinizde 3 tip deterjan buluyorsunuz: Aşağıdaki özelliklere sahip A, B ve C:
| Deterjan | Fiyat | Kalite |
| TO | 1,00 ABD doları | İyi |
| B | 1,10 ABD doları | Çok iyi |
| C | 1,20 ABD doları | Mükemmel |
Maliyetteki 0,10 dolarlık belirleyici farklar için önemli olmadığını ve deterjanın zaten bulaşıkları yıkadığını söylediği için maliyetin kaliteden daha alakalı olduğunu varsayalım, o zaman: B yerine deterjan C tercih edilir ve o tercih eder B'den A'ya
Bununla birlikte, eğer A ile C karşılaştırılırsa, fiyat farkı önemlidir, o zaman karar veren kişi deterjanı A'dan C'ye tercih eder, ancak C daha kalitelidir, bu nedenle karar veren kişi hangi deterjanı satın alacağına karar veremez.
Daha sonra daha önce ortaya çıkan ilişkileri tanımlayacağız:
Kayıtsızlık (a I b)
a kayıtsızdır b ne zaman
g j (a) = g j (b) tüm j ¹ k için g k (a) ¹ g k (b) olsa bile, yani, j kriteri için iki alternatif arasındaki denkliği tartışmak için açık ve yeterli nedenler varsa.
Kesin Tercih (a P b)
a kesinlikle b ne zaman tercih edilir
g j (a) = g j (b) için j ¹ k sadece fark
g k (a) - g k (b) yeterince önemlidir, yani a'nın b'den önemli ölçüde daha yüksek olduğunu iddia etmek için açık ve yeterli nedenler vardır.
Zayıf Tercih (a Q b)
b, aa'ya kesin olarak tercih edilmiyorsa, a'nın b'ye göre zayıf bir şekilde tercih edilmesi, ancak a'nın kesinlikle b'ye tercih edildiğini veya kayıtsız olduğunu söylemek imkansızdır, yani yukarıdaki durumların hiçbiri baskın değildir.
Karşılaştırılamazlık (a R b)
a, önceki durumların hiçbiri geçerli olmadığında, b ile karşılaştırılamaz.
Basit bir örneğe bakalım:
Aşağıdaki dondurma aromalarını varsayalım:
Çikolata
çilek
Fındık
mantecado
Vanilya
Çikolata cipsi
İki karar verici, tercihlerini 0-10 puan arasında bir ölçekte ifade etmiş ve en yüksek puana en çok sevdikleri lezzeti vermiştir ve aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:
| Tatlar | gül | Eugene |
| Çikolata | 10 | 9 |
| çilek | 5 | 9 |
| Fındık | 10 | 8 |
| mantecado | iki | 6 |
| Vanilya | bir | iki |
| Çikolata cipsi | 9 | 10 |
Rosa için çikolata ve ceviz kayıtsız, çikolata parçacıklı çikolata, çilek ise dondurmaya tercih ediliyor. Bununla birlikte, Eugenio için çikolata ve çilek kayıtsızdır, tercih edilen tatları çikolata parçacıklarıdır, dondurma tercih edilen vanilyadır.
ELECTRE felsefesinin temasına geri dönelim, ELECTRE felsefesi iki aşamada yapılandırılmıştır: geçiş ilişkisinin inşası (üstünlük) ve geçiş ilişkisinin kullanımı. Geçiş (S) ilişkisinin inşası, uyum testi ve veto testi (uyumsuzluk) aracılığıyla kurulur, böylece a ifadesinin doğru olması için b'yi aşması için her iki testin de başarıyla geçilmesi gerekir. Uyum testi yoluyla, oybirliği kuralını daha esnek hale getirmek için çoğunluk kuralı aranırken veto testi, a ifadesinin b'yi aştığı anlamına gelir veto edilmez. A S b nin kriterler kümesini hesaba katarsak, a ifadesini en az b kadar iyi olarak kabul etmek için yeterli argümanımız olduğunu söyleyeceğiz. Daha sonra geçiş ilişkisini, anlaşmayı, anlaşmazlığı ve vetoyu tanımlayacağız.
Geçiş ilişkisi
G 1, g 2,….g f kriterlerinden oluşan bir F ailesiyle karakterize edilen bir dizi alternatif olalım , her bir kritere g j bir geçiş ilişkisi S j atamak mümkündür. Tanım olarak, eğer g j (a) ve g j (b) değerleri, içinde bir P j b veya bir Q j b veya a I j b olduğunu düşünmek için yeterince güçlü bir argüman veriyorsa, S j, S j b ile ikili bir ilişkidir. DM tercihleri modeli. Bu, kriter j açısından "alternatif a en az b kadar iyidir" anlamına gelir ve S j b gösterilir
Kayıtsızlık eşiklerine izin verilir:
a I b evet ve sadece -g j (a) - g j (b) - £ q j
a P b evet ve sadece g j (a) ³ g j (b) + p j
a Q b evet ve sadece q j <g j (a) - g j (b) <p j
nerede:
q j: kayıtsızlık eşiği
p j: kesin tercih eşiği
yani:
a S j b evet ve sadece g j (a) ³ g j (b) - q j
A S b, eğer kriter kümesini hesaba katarsak, ifadenin doğru olduğunu düşünmek için yeterince güçlü argümanlarımız olduğunu söyleyeceğiz »a en az b kadar iyidir»
Hissediyorum:
a S b ve b S a Û a ben b
a S b ve b nS a Û a P b
a nS b ve b nS a Û a R b
Tüm j Î F Þ a S b için a Sj b olduğu kanıtlanabilir
Bu tanımlara ek olarak, Electre yöntemlerinin dayandığı temeller olan uzlaşma ve uyumsuzluk kavramlarını tanımlamak gerekir:
Uyumun Tanımı
J - th ölçütü ifadeye uygundur
a S b evet ve sadece a S j b.
Yukarıdakileri karşılayan alt kümeye anlaşma koalisyonu denir ve şu şekilde gösterilir:
C (bir S b) = {j / a S j b}
Anlaşmazlığın Tanımı
Kriter j - th ifadeyle uyuşmuyor
a S b ancak ve ancak b P j a katı tercih düzeyini aşıyorsa (g j (b) - g j (a)> p j)
Yukarıdakileri yerine getiren alt kümeye uyumsuzluk koalisyonu denir ve şu şekilde gösterilir:
C (b P a) = {j / b P j a}
Başka bir C (b Q a) alt kümesi vardır, böylece:
F = C (a S b) UC (b P a) UC (b Q a)
W j, kriter j'nin ağırlığı olsun
Uyum indeksi C (a, b), pozitif argümanların a S b ifadesini doğrulamak için gücünü karakterize eder. Ana kuvvet C (a S b) = C 1 (a, b) 'den gelir, ancak bunu C 2 (a, b) olarak ifade eden C (b Q a)' dan belirli bir katkı aramak gerekir, bu nedenle:
C (a, b) = C 1 (a, b) + C 2 (a, b)
nerede:
C 1 (a, b) =
j Î C (bir S b)
C 2 (a, b) =
jÎ C (b Q a)
Q j, basitliği için şu şekilde alınabilecek bir fonksiyondur:
p j + q j (bir) - q j (b)
Q j = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
p j - q j
Unutmayın ki:
g j (b) - g j (bir) = p j, Q j = 0
g j (b) - g j (bir) = q j, Q j = 1
0 £ C (a, b) £ 1
C (a, b) = 0 eğer C (b P a)
C (a, b) = 1 eğer C (a S b)
Veto etkisi ve uygunsuzluk indeksi
Aksiyom: Her bir g j kriteri için bir v j > p j eşiği vardır, öyle ki
g j (b) - g j (a)> v j, a S b ifadesi ile uyumsuzdur, C (a, b) 1'e yaklaşsa bile, diğerleri a S b'nin lehine olsa bile, bu telafi etmez. bu kriterdeki kayıp.
C (a, b) düştükçe veto eşiğinin düştüğünü düşünmek mantıklıdır.
Daha önce belirtildiği gibi, ELECTRE yöntemleri iki aşamada yapılandırılmıştır:
- Geçiş ilişkisinin kurulması Bu geçiş ilişkisinin sömürülmesi.
Aşama 1'in yapısı şu şekilde temsil edilebilir:
Üstünlük ilişkisini kurmanın yolu, I, II, III, IV, IS ve TRI versiyonlarının bilindiği Electre'nin felsefesi içerisinde farklı yöntemlerin ortaya çıkmasını şartlandırmıştır, hepsi iki fazın varlığını varsaymaktadır. Tablo, geliştirilen farklı Electre yöntemlerinin özelliklerini göstermektedir.
| ELECTRE versiyonu | Ölçüt türü | Kilo lazım | Bulanık set kavramı | Sorunun türü | Ek tercih bilgileri |
| ben | Basit | Evet | Değil | seçim | Ağırlıklar, anlaşma düzeyi ve anlaşmazlık düzeyi |
| II | Basit | Evet | bir şey | Sipariş | Ağırlıklar, anlaşma düzeyi ve anlaşmazlık düzeyi |
| III | Sözde | Evet | Evet | Sipariş | Pezosu |
| IV | Sözde | Değil | Değil | Sipariş | |
| DIR-DİR | Sözde | Evet | Değil | seçim | Pezosu |
Tablo. ELECTRE Metodunun farklı versiyonlarının özellikleri.
Kullanılacak Electre yöntemi nasıl seçilir?
Bu soruyu yanıtlamak ve dolayısıyla bir karar desteği bağlamında en uygun yöntemi seçmek için, ne tür bir sorunu çözmek istediğimizi düşünmeliyiz, bunlar şunlar olabilir:
Sorun a: En küçük set A izole veya tüm A'nın eliminasyonu / A eylemler haklı olabilir hangi Ì A veya en iyileri o alt kümesinde olduğu, olduğunu.
Problem b: her eylemi önceden belirlenmiş bir kategoriye atamak, sınıflandırma problemi ve bu nedenle Yapay Zeka ile durdurulur.
Problem g: Olası en zengin ön siparişi bir alt kümede veya A'nın en tatmin edici görünen eylemleri üzerinde oluşturun.
Çözülecek problem a ise, iki yöntem kullanılabilir, Electre I ve Electre Tri, Electre I sadece çok basit bir yöntemle çalışmak istiyorsanız seçilecektir, çünkü tüm j için p j = q j = 0, demek eşiklerle çalışmaz.
Problem b ise, şimdiye kadar geliştirilen hiçbir yöntem kullanılamaz.
Çözülecek problem g ise, üç yöntem seçilebilir: Electre II, III ve IV; Electre II, yalnızca çok basit bir yöntemle çalışılması gerektiğinde seçilecektir, çünkü Electre I gibi, eşiklerle çalışmaz; Electre IV, yalnızca kriterlerin önemini çürütmek için iyi bir neden varsa uygundur, çünkü algoritma kriterlerin önemini modellememektedir.
Electre IV yöntemi, gerçek durumlarda sıklıkla karşılaşılan iki durumu çözmek için tasarlanmıştır: kriterlere ilişkin eylemlerin değerlendirilmesinin belirsizliği ve belirsizliği ve kriterlerin ağırlığının olmaması.
İlk zorluğa tatmin edici bir yanıt, her bir kriter için seçilen kayıtsızlık, tercih ve veto eşiklerinin yanı sıra sözde bir kriter tanımlanarak elde edilebilir.
İkinci durum, geçiş kavramına uygun bir giriş gerektirir.
Electre IV yöntemi, iki makul seviyeyi ayırt eder: tartışmaya konu olmayan güçlü Sf geçişi ve biraz daha sorgulanabilir olan zayıf geçiş Sd.
Electre yöntemlerinin felsefesi, karar verme sürecine, normatif karar okulunun yetersizliklerini artıran, uygulamada etkinliğini kanıtlayan ve olumlu sonuçların elde edilmesini sağlayan sezgisel bir prosedür sağlayan bir dizi olumlu yöne katkıda bulunur. önemli çok özellikli karar problemlerine.
Tablo ELECTRE felsefesinin olumlu ve olumsuz yönlerini göstermektedir:
| Olumlu yönler | Olumsuz Yönler |
| 1. Üstünlük ilişkisinin (S) katı tercihin zayıflaması olarak kabul edilmesi. | 1. Yetersiz veto modellemesi diğer kriterlerin durumundan etkilenmez. |
| 2. Sıralamadan geçme (S) elde etmek için bir mekanizma olarak çoğunluk vetosunun kabulü. | 2. Uyum indeksinde ağırlıkların rolü. |
| 3. Veto talebinin kabulü. | 3. Çoğunluk oyu kuralı kullanılırken sözde kriterler dikkate alınmaz. |
| 4. Karşılaştırılamazlığın tanınması (R). | 4. Tercihlerin yoğunluğunu dikkate almaz. |
| 5. Ayrımcı eşiklerin varlığının tanınması. | 5. Alternatifler kümesini sipariş etmenin tek bir yolu yoktur veya üstünlük ilişkisinden yararlanmanın evrensel olarak iyi bir yolu yoktur.
(S) dir. |
| 6. Karar vericiden büyük çaba gerektirmez. |
Tablo Electre felsefesinin temel olumlu ve olumsuz yönleri.
Gösterilen eksikliklere rağmen Electres, daha az zarif bir matematik temeli ile daha iyi karar almaya yardımcı olan, ancak daha az verimli olmayan tekniklerdir.
Electre II.
Bir önceki bölümde, ELECTRE'nin iki aşama kullandığı bir üstünlük (üstünlük) ilişkisinin kurulmasına dayanan bir felsefe olduğu önerilmişti:
- Üstünlük ilişkisinin kurulması Üstünlük ilişkisinin sömürülmesi.
Bu iki aşama, basitliği ve pratik kullanım olasılığı nedeniyle seçilen ELECTRE II'nin durumu için bu bölümde gösterilmektedir.
Bunu hatırla:
N özniteliklerinin J kümesi ile karakterize edilen iki alternatif (a, b) Î A verildiğinde, aşağıdaki gösterim kullanılacaktır:
- P J katı bir nitelik ja göre ab tercih edilir vasıtasıyla b j zayıf özellik ja I ile ilgili olarak ab tercih edilir vasıtasıyla b j bir özellik ja R, ile ilgili olarak ilgisiz ab bu aygıtın b j bir eşsiz olduğunu vasıtasıyla b ab niteliğine göre j.
Aşama I. Geçiş ilişkisinin kurulması
ELECTRE felsefeleri içerisinde bu aşamayı başarılı bir şekilde geçmek için iki testin yapılması gerekir:
- Uyum testi, veto testi.
Anlaşma testinde, oybirliğini daha esnek hale getirmek için çoğunluk kuralı aranır ve bu testte iki testin yerine getirilmesi belirlenir:
- Basit Çoğunluk Mutabakatı
Uyum testini gerçekleştirmek için, aşağıda gösterilen dört set tanımlanmıştır:
J, değerlendirilecek tüm kriterlerin kümesi olsun j 1, j 2,…, j n., Yani, J = {j i } i =
= {j J: a P j b}
= {j J: a I j b}
= {j J: b P j a}
nerede:
: Alternatif a'nın b'ye tercih edildiği kriterler kümesi.
: Alternatif a'nın b'ye kayıtsız kaldığı kriterler kümesi.
: Alternatif b'nin a'ya tercih edildiği ölçütler kümesi.
I 1 (fikir birliği) ve I 2 (basit çoğunluk) endeksleri şu şekilde hesaplanır:
Uyumluluk testi şu durumlarda başarıyla geçer:
I 1 ³ ce I 2 ³ 1
nerede:
c: uyum indeksi, 3/4 veya 2/3 olarak kabul edilebilir (Ostanello, 1984), bu durumda karşılaştırmasızlığı azaltmak için 2/3 olarak kabul edilecektir, bu da alternatif a'nın b'yi biraz aştığı anlamına gelir.
Aşama I'de uyum testinin nasıl yapıldığını bir örnekle görelim:
| Alternatifler | 1. Kriter | 2. Kriter | 3. Kriter | Kriter 4 | Kriter 5 |
| TO | VE | MB | VE | R, | B |
| B | MB | B | R, | MB | B |
| C | MB | B | VE | R, | B |
| D | B | VE | MB | R, | B |
| Pezosu | 10 | 8 | 10 | 9 | 5 |
Not: Kriter 5, tüm alternatifler için aynı değerlendirmeye sahiptir, bu nedenle karar verme için ilgili bilgileri sağlamadığından ortadan kaldırılabilir.
En iyi alternatifi seçmek için tüm alternatifleri hepsiyle karşılaştırmalıyız, şimdi aşama I'in uyum testini nasıl yapacağımızı açıklayacağız.
A ile B'yi Karşılaştırmak
Setlerin tanımı
J = {1, 2, 3,4}
= {1, 2,3}
= {4}
= f
³ c
= (10 + 8 + 10) + 9/37 ³ 2/3 veya 3/4
= 1 Þ A s B
³ 1 Þ A s B
A ile C'yi Karşılaştırmak
Setlerin tanımı
J = {1, 2, 3,4}
= {1,2}
= {3 4}
= f
³ c
= (10 + 8) + (10 + 9) / 37 ³ 2/3 veya 3/4
= 1 Þ A s C
³ 1 Þ A s C
A ile D'yi Karşılaştırmak
Setlerin tanımı
J = {1, 2, 3,4}
= {1, 3}
= {4}
= {2}
³ c
= (10 + 10) + 9/37 ³ 2/3 veya 3/4
= 1 Þ A s B
³ 1 Þ A s B
Veto testi. Bu test önceki ifadeyi reddetmeye çalışır
A S b ifadesinde veto var, evet:
J - ¹ Æ y
nerede:
{J>}
W med: kriterlerin ortalama ağırlığı.
Veto testi yalnızca, uygunluk testinde alternatif a alternatifi b (a S b) 'yi aşarsa geçilecektir.
Aşama 2. Geçiş ilişkisinin kullanılması.
Bu aşamayı çözmek için güç ve zayıflık kavramları kullanılır.
F (a): alternatif a'nın kuvveti olsun, a 'Î A öyle ki a S a' olsun.
F (a) = kart * {a 'Î A / a S a'}
D (a): a alternatifinin zayıflığı, a Î A sayısı öyle ki a 'S a olsun.
D (a) = kart {a 'Î A / a' S a}
Ben (a): Alternatif a'nın kalite endeksi, gücü ile zayıflığı arasındaki fark olsun.
I (a) = F (a) - D (bir)
Bu nedenle, Î A'ya her bir alternatif için, F (a), D (a) ve I (a) 'yı hesaplayın.
Alternatiflerin sıralaması, aşağıda gösterildiği gibi alternatiflerin kalite indeksi ve üstünlük oranı kullanılarak yapılır.
Eğer: a S byb nS ay I (a)> I (b) Þ a P b
Ben (a) = I (b) Þ bir P b
Ben (bir) <I (b) Þ *
a S b ve b S ay I (a)> I (b) Þ bir P b
Ben (a) = ben (b) Þ bir ben b
Ben (a) <I (b) Þ b P a
a nS byb nS ay I (a)> I (b) Þ a P b
Ben (a) <I (b) Þ b P a
I (a) = I (b) Þ *
* İle işaretlenmiş koşullar, bunları karşılayan alternatifleri sipariş edebilmek için yeterli bilgi olmadığı, yani karşılaştırılamaz oldukları anlamına gelir ve bu uyumsuzlukları ortadan kaldırmak veya en aza indirmek için bir yöntem aranması gerektiği anlamına gelir.
Sözcük bilgisi yöntemi
Bu, verilen niteliklerin sıra tercihlerinin bilindiği problemleri çözmek için bir yöntemdir (Tabucanon, 1988), (Romero, 1997). Bu yöntem, dikkate alınacak kriterler dizisini oluşturan özelliklerin her birinin önemi hakkında bilgi edindiğinizde, onu bir ağırlık veya ağırlıklandırma yoluyla ifade etmeniz gerekmediğinde, daha ziyade bir performans gösterebilmek için önerilir. öneme göre niteliklerin sıralaması.
Algoritma şu şekilde çalışır:
- Alt simgeyi yalnızca öznitelik vektörünün değil aynı zamanda özniteliğin önceliğini de tanımlayın, yani en önemli özniteliğe, önemde ikinci özniteliğe karşılık gelir ve özniteliklerin en kötüsü olana kadar bu şekilde devam edin. En iyi alternatif olarak seçin, öyle ki:
= {A i: maks. X i1 }, i = 1,2,… m
Kardinal de = 1 ise, bu tercih edilen alternatiftir
Kardinal> 1 ise, birden fazla maksimal alternatif vardır, bu nedenle prosedür gerçekleşene kadar izlenmelidir:
$ / kart = 1 Þ alternatif tercih edilecektir.
Tüm m nitelikleri dikkate alınmıştır, bu durumda kümenin birden fazla öğesi varsa, alternatiflerin eşdeğer olacağı kabul edilir.
kaynakça
- Barba Romero S, Pomerol JC (1997): Kararlar multicriteio Teorik temeller ve pratik kullanım, Alcalá Üniversitesi, İspanya Charmes & Cooper, 1961, Yönetim Modelleri ve Endüstriyel luinear programlama, Jhon Wiley ve Sons. Diez de Castro JA ve diğerleri (1997): Karar yardımı: Yeni bir yönetim aracı. Santiago de Compostela Üniversitesi Monografisi, İspanya Koopmans TC, 1951, Üretim ve Tahsis Faaliyet Analizi, Cowles Conmission Monograph, n˚ 13, Jhon Wiley, New York Roger M, Bruen, M (1998): Ağırlıklandırma için yeni bir sistem Electre III dahilinde kullanım için çevresel kriterler. European Journal of Operational Research, Romero C. (1993): Çok kriterli karar teorisi: Kavramlar, teknikler ve uygulamalar. Alianza Editorial SA Madrid.Romero, C. (1997): Çok kriterli kararların analizi. Madrid, Roy B,Vander Pooten D (1995): MCDA'nın Avrupa okulu: Tarihsel bir inceleme. XIV Euro Çalışma Grubu Konferansının İlerlemesi VEYA Akıllı karar desteğine doğru, Kudüs Roy B. (1984): Geçiş yaklaşımı ve Electre yöntemlerinin temeli. Çok Ölçütlü Karar Yardımında Okumada. Editörler Bana e Costa Roy B. (1990): Geçiş yaklaşımı ve Electre yöntemlerinin Temelleri. Berlin.Roy, B. (1996): Karar Yardımı için Çok Kriterli metodoloji, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht-Boston-LondonSaaty T (1996a): Analitik arıtma sürecinin pazarlama uygulamaları. Management Science Magazine, Saaty T (1997): Liderler için karar verme. Hiyerarşik analitik süreç. Karmaşık bir dünyada karar verme. RWS Publications USA, Tabucanon M. (1988): Endüstride Çok Kriterli Karar Verme,Üretim ve Mühendislik Ekonomisinde Çalışmalar, Elserver, Amsterdam - Oxford - New York, Tokyo.
* Karar verme süreçlerinin dinamik modelleri.
* İngilizce Karar Vericiden (DM)
*** kurucusu B. Roy olan 1970 yılında kararın tanımlayıcı okulu tarafından geliştirilen ilişki.
* kayıtsızlık eşikleri: a I b evet ve yalnızca evet - g j (a) - g j (b) - £ q j burada q j kayıtsızlık eşiğidir.
** tercih eşikleri: a P b evet ve yalnızca evet g j (a) ³ g j (b) + p j veya a Q b evet ve yalnızca evet q j <g j (a) - g j (b) < p j burada p j tercih eşiğidir.
kart (kardinal), PAL - LAS Sözlüğü şeyleri saymak için kullanılan tam sayılardan bahsedilir.
Orijinal dosyayı indirin
